频谱 功率谱 功率谱密度（PSD）

       频谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换；
       功率谱是一个时间平均（time average）概念；
       功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。

       有两个重要区别：
       1. 功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。（随机的频域序列）
      2. 功率概念和幅度概念的差别。此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。功率谱密度是信号功率在信号持续频谱带宽上的密度，也就是说功率谱密度对频谱的积分就是功率，也就是相关函数在零点的取值。

       就确定性信号而言：
       当其为能量信号时，其付氏变换收敛；
       而功率信号的付氏变换可能不收敛，只好研究其功率谱，而不是信号直接付氏变换。

       功率信号在时间域上是无限的，所以无法直接做傅立叶变换。如果对时间T内的信号做傅立叶变换，T在趋于无穷，其实也就是得到了功率信号的频谱，其模的平方也就是功率谱了。

       如果这个信号不是确定信号，而是随机信号，那功率普的计算为其自相关函数的傅立叶变换。

       不过在实际实现中，通过一段随机信号的采样来计算出其自相关函数，然后做傅立叶变换得到的功率谱，其实和把它看成一段确知信号，做傅立叶变换再取模平方得到的功率谱是一样的

        一个信号的频谱,只是这个信号从时域表示转变为频域表示,只是同一种信号的不同的表示方式而已,   而功率谱是从能量的观点对信号进行的研究,其实频谱和功率谱的关系归根揭底还是信号和功率,能量等之间的关系。

       对功率信号,其傅立叶变换不存在，这句话应该不确切。对于有些能量无限信号，如正弦，是不满足傅氏变换的条件的，但是引入delta函数后，还是可以有傅立叶变换。
     对于随机信号来说，从时间研究是没多大意义（除了大数 ...）
    为什么要引入delta函数？就是因为功率信号的傅立叶变换不收敛（或者说常规函数定义下的傅立叶变换不存在），所以才引入这类特殊函数的。

       从物理含义上分析更容易理解一些：
        1）时间信号与功率和能量；2）频谱与功率谱和能量，它们其实是对同一个信号的不同角度的看法而已。
        从时间的角度来看，一个信号有实时的时间信号x(t)，对应地有其功率和能量，不管功率是无穷大还是无穷小，也不管其功率是无穷大还是无穷小，总之，任何 一个均存在其对应的功率和能量。而对于功率信号来说，其能量是无限大的，功率是有限大的；对于能量信号来说，能量有限，功率为0.
       从频率的角度来看，x(f)，其功率谱就相当于时间角度的功率，能量与时间角度的能量的含义是相同的 。

       功率谱的概念是针对功率有限信号的，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变化情况。保留了频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。

       频谱分析：
       对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。频谱析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。

功率谱密度：
功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。

由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchin theorem）提供了一个简单的替换方法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。
信号的功率谱密度当且仅当信号是广义的平稳过程的时候才存在。如果信号不是平稳过程，那么自相关函数一定是两个变量的函数，这样就不存在功率谱密度，但是可以使用类似的技术估计时变谱密度。

随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。

功率谱具有单位频率的平均功率量纲。所以标准叫法是功率谱密度。从名字分解来看就是说，观察对象是功率，观察域是谱域。
通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。像白噪声就是平行于一条直线。

一般我们讲的功率谱密度都是针对平稳随机过程的，由于平稳随机过程的样本函数一般不是绝对可积的，因此不能直接对它进行傅立叶分析。可以有三种办法来重新定义谱密度，来克服上述困难。
1. 用相关函数的傅立叶变换来定义谱密度；
2. 用随机过程的有限时间傅立叶变换来定义谱密度；
3. 用平稳随机过程的谱分解来定义谱密度。

三种定义方式对应于不同的用处，首先第一种方式前提是平稳随机过程不包含周期分量并且均值为零，这样才能保证相关函数在时差趋向于无穷时衰减，光靠相关函数解决不了许多问题，要求太严格了；对于第二种方式，虽然一个平稳随机过程在无限时间上不能进行傅立叶变换，但是对于有限区间，傅立叶变换总是存在的，可以先架构有限时间区间上的变换，在对时间区间取极限，这个定义方式就是当前快速傅立叶变换（FFT）估计谱密度的依据；第三种方式是根据维纳的广义谐和分析理论：Generalized harmonic analysis, Acta Math, 55(1930),117-258,利用傅立叶-斯蒂吉斯积分，对均方连续的零均值平稳随机过程进行重构，在依靠正交性来建立的。

第一、 无线信道的多径效应导致的频率选择性衰落
总的来说，这属于“静”，所谓静，就是指发送和接收终端、以及导致电磁波的反射折射等的障碍物都处于静止的状态，而导致多径效应的是这些多种多样的障碍物形成的静态的空间格局。自由空间中是没有多径效应的，有了这些障碍物，同一时刻从发送天线出来电磁波就延不同的方向在不同的时间到达接收天线，在天线上场效应进行叠加而产生了多径分量的混合。换句话说，就是这种复杂多样的空间格局形成了综合的磁波传播环境，这种空间格局具有相应的物理尺寸，对不同频率的电磁波的传播特性是不一样的，所以随着在其中传送的电磁波的频率的变化，其信道响应也不停的变化，这也就是称作频率选择性的本质原因。信道特性随着电磁波频率变化而变化，这种变化延频率轴来看，有快慢、有大小，根据这个原理而定义出信道的对不同频率电磁波的传播特性维持“不变”（就是变化较小）的频率宽度，这个频率宽度称作相干带宽，也就是在此带宽内的电磁波在这个复杂的空间格局中获得近似的传播特性，没有明显的畸变，也就不会导致时域上波形的剧烈变化。
相同地，从时域上来看，造成这种波形变化的原因就是不同的传播路径信号的叠加。以直射到达接收端的信号为参考，最迟到达接收端的信号相对直射信号而产生的延后时间T代表了此移动传播环境的多径时延特征，它的倒数正好对应着相干带宽。这就是多经效应的基本原理。

第二、 无线信道的多普勒频移导致的时间选择性衰落
总的来说，这属于“动”，这个动的意思就是指多普勒频移的产生必须以相对运动为前提，比如接收端相对发送端的运动，反射物相对接收端的运动，反射物相对发送端的运动等等，这些相对运动都会导致接收端接收到的电磁波信号的的频率有所变化。换句话说，因为运动，所以是随着时间而变化的，这也就是称作时变性、时间选择性的一个原因。理论上来讲，如果存在运动，信道的这种时变性就是存在的，只是变化有快慢、有大小。由此而定义出信道的冲激响应维持“不变”的时间间隔的统计平均为此信道的相干时间T。如果一个符号的时间长度短于此相干时间，那么整个符号的波形在传播期间能够得到传播信道较为“一致”的传播，不会发生巨大的畸变。相反则产生时间选择性衰落了。此相干时间的倒数就是最大频偏，其本质意义对应相对运动的速度导致的频率偏移，而相对运动越快（比如一个坐着汽车打手机的人与一个走路打手机的人做比较），传播信道的特性变化自然就越快，对应的相干时间T就越小，那么T的倒数就越大，最大频偏就愈大，与多普勒频移原理完全统一。

功率谱密度：
功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。

由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchin theorem）提供了一个简单的替换方法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。


信号的功率谱密度当且仅当信号是广义的平稳过程的时候才存在。如果信号不是平稳过程，那么自相关函数一定是两个变量的函数，这样就不存在功率谱密度，但是可以使用类似的技术估计时变谱密度。